Tìm \(m\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) .

Đầu tiên ta tính giá trị của ngôi nhà sau \(12\) năm:

Giá trị ngôi nhà sau 2 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 = {10^9}.\left( {1 + 0,05} \right)\)

Giá trị ngôi nhà sau 4 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^2}\)

Lần lượt ta có giá trị ngôi nhà sau 12 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^6}\)

Sau khi chi tiêu hàng tháng thì số tiền tiết kiệm là \(40\% \) lương.

Có nghĩa là trong hai năm \(2023 - 2024\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\)

Trong hai năm tiếp theo \(2025 - 2026\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\left( {1 + 0,01} \right)\)

Tương tự vậy số tiền tiết kiệm được trong 12 năm là: \(24.0,4a\left[ {1 + \left( {1 + 0,1} \right) + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^3} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^4} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^5}} \right] = 74,069856a\)

Để mua được nhà thì số tiền trên phải bằng số tiền sau \(12\) năm: \(74,069856a = {10^9}.1,{05^6} \Rightarrow a = 18092321\)

Vậy số \(a\) gần bằng \(18092000\).

Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là:

\(m(100) = 100 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,515(\;g).\)