Cho hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có cạnh \(a\). Khi đó:

Giả sử các cạnh và các đỉnh của kim tự tháp được mô phỏng như hình vẽ bên dướ

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên ta có \(SA = SB = SC = SD\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BD\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 262\sqrt 2 \) m.

\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 131\sqrt 2 \) m.

Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {230} \right)}^2} - {{\left( {131\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {18578} \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(SI \bot BC\) vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) và ta có \[HI = \frac{{AB}}{2} = 131\]m.

Kẻ \(HJ \bot SI\), khi đó \(HJ \bot \left( {SBC} \right)\) vì \(\left\{ \begin{array}{l}HJ \bot SI\\HJ \bot BC\end{array} \right.\),

suy ra \(HJ\) là khoảng cách ngắn nhất để đào con đường vào tâm của đáy kim tự tháp.                      

Xét tam giác \(SHI\) vuông tại \(H\), ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)\( \Rightarrow HJ \approx 94\)m.

Vậy quãng đường ngắn nhất khoảng \(94\)m.

Tam giác \(SAC\) cân tại \(S(\)do \(SA = SC)\), mà \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO \bot AC\). (1)

Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) (do \(SB = SD\)), mà \(O\) là trung điểm \(BD\) nên \(SO \bot BD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO \bot (ABCD)\).

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BD}\\{AC \bot SO({\rm{do }}SO \bot (ABCD))}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AC \bot (SBD);\end{array}\) mà \(SB \subset (SBD)\) nên \(AC \bot SB\).