Cho hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có cạnh \(a\). Khi đó:

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A^\prime }{D^\prime } \bot A{A^\prime }}\\{{A^\prime }{D^\prime } \bot {A^\prime }{B^\prime }}\end{array} \Rightarrow {A^\prime }{D^\prime } \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right.\), mà \(A{B^\prime } \subset \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\) nên \({A^\prime }{D^\prime } \bot A{B^\prime }\).

Vậy $\left(A^{\text{'}}{D}^{\text{'}},A{B}^{\text{'}}\right)={90}^{°}$

b) Gọi \(O\) là tâm hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) nên \({A^\prime }O \bot {B^\prime }{D^\prime }\).

Mặt khác \(A{A^\prime } \bot {B^\prime }{D^\prime }\) nên \({B^\prime }{D^\prime } \bot \left( {A{A^\prime }O} \right)\).

Kẻ đường cao \({A^\prime }H\) trong tam giác \(A{A^\prime }O\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A^\prime }H \bot AO}\\{{A^\prime }H \bot {B^\prime }{D^\prime }}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {A^\prime }H \bot \left( {A{B^\prime }{D^\prime }} \right){\rm{. }}\)

Do vậy \(H\) là hình chiếu của \({A^\prime }\) lên mặt phẳng \(\left( {A{B^\prime }{D^\prime }} \right)\).

Hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có đường chéo \({A^\prime }{C^\prime } = a\sqrt 2  \Rightarrow {A^\prime }O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(A{A^\prime }O\) vuông tại \({A^\prime }\) có đường cao \({A^\prime }H\) nên

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^{\prime 2}}}} + \frac{1}{{{A^\prime }{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow {A^\prime }H = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)