Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là \[q\left( t \right) = 100 + {e^{ - 0,5t}}\] đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 12 giờ trưa?

Lời giải

Số hạt lạc mà Tấm đã ăn là \(1 + 4 + 7 + 10 + ...\)

Số hạt lạc mà Tấm đã ăn từng lượt theo quy luật cấp số cộng với \({u_1} = 1\,,\,\,d = 3\).

Sau n lượt, tổng số hạt lạc mà Tấm đã ăn là \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{n\left[ {2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\).

Xét \({S_n} = 317 \Rightarrow \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} = 317 \Rightarrow 3{n^2} - n - 634 = 0 \Rightarrow n \approx 14,7\) (không thỏa mãn).

Do đó Tấm là người ăn lạc cuối cùng. Sau 14 lượt cô ăn được \({S_{14}} = \frac{{14\left( {3 \cdot 14 - 1} \right)}}{2} = 287\); lượt cuối cô ăn thêm \(317 - 287 = 30\) (hạt).

Số hạt lạc mà Cám đã ăn là tổng cấp số cộng có số hạng đầu bằng 2, công sai bằng 3.

Số hạt lạc mà dì ghẻ đã ăn là tổng cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3, công sai bằng 3.

Tổng số hạt lạc mà cả ba mẹ con đã ăn được là \(317 + \frac{{14\left( {2 \cdot 2 + 13 \cdot 3} \right)}}{2} + \frac{{14\left( {2 \cdot 3 + 13 \cdot 3} \right)}}{2} = 933\). Chọn B.

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).

Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).

Chọn C.