Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(I\) là tâm của mặt bên \(ADD'A'\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(CC'.\) Cho biết \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = n{a^2}{\rm{ }}(n\) là số thập phân). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?

Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là \(A\) có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt là \(45{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}}\). Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua \(A\), các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị \({m^3}\)) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa \[350\] chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết \[x\left( {x \in \mathbb{N}*,x \le 350} \right)\] chiếc drone trong một quý như sau:

Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: \[P\left( x \right) = 120 - 0,2x\] (đơn vị: triệu đồng/chiếc). Chi phí vận hành cố định: \[1000\] triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là \[50\] triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên \[100\] chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn \[40\] triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng). Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế \[10\% \] tính trên lợi nhuận dương).

Thầy An là một thủ khoa xuất sắc được tuyển đặc cách vào một trường THPT ở thủ đô. Sau thời gian tập sự, thầy chính thức bắt đầu tính thâm niên biên chế từ ngày 01/01/2020. Năm 2020 (năm thứ nhất), tổng thu nhập ở trường của thầy An là 60 triệu đồng/năm. Giả định mức tăng lương hằng năm là cố định 6 triệu đồng/năm cho mỗi năm tiếp theo (bao gồm tăng lương cơ sở và thâm niên). Nhờ được ở nhà công vụ miễn phí và sống tối giản, mỗi năm thầy dành đúng 50% tổng thu nhập hằng năm gửi tiết kiệm để mua nhà (lãi tiền gửi đều rút ra để chi tiêu, không nhập gốc và không tính vào thu nhập).

Đầu năm 2020, thầy nhắm một căn hộ giá 1500 triệu đồng. Do nhu cầu thị trường, giá căn hộ này mỗi năm tăng 10% so với giá cuối năm trước, giá được cập nhật vào ngày 31/12 hằng năm.

Đầu năm 2025, thầy chốt mua căn hộ trên với giá giao dịch bằng giá thị trường tại thời điểm mua, làm tròn đến hàng triệu đồng. Khi mua, ngoài tiền tiết kiệm tích lũy trong 5 năm (2020–2024), thầy được gia đình hỗ trợ đúng 1400 triệu đồng. Số tiền còn thiếu thầy vay ngân hàng với lãi suất cố định 7%/năm trong 35 năm (không thay đổi lãi suất ưu đãi dành cho nhân tài ngành giáo dục). Ngân hàng đưa ra 2 phương án trả nợ: Phương án 1 là trả một số tiền cố định (gồm cả gốc và lãi), phương án 2: là trả gốc chia đều trong 35 năm, cộng với lãi tính trên dư nợ thực tế đầu mỗi năm đó. Các phương án đều tính lãi theo năm trả nợ vào cuối mỗi năm, kỳ trả đầu tiên là 31/12/2025, các tính toán vay và trả nợ kết quả được làm tròn đến hàng triệu đồng gần nhất.

Một nghệ nhân có \[9\] chiếc đèn lồng với độ dài dây treo (\[cm\]) lần lượt là \[10\]¸\[20\]¸\[30\], …, \[90\]. Khung đèn là một tam giác đều \[ABC\]; gọi \[M\], \[N\], \[P\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\], \[CA\]. Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên \[6\] chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào \[6\] vị trí \[A\], \[B\], \[C\], \[M\], \[N\], \[P\] (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân bằng hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là \[p\]. Giá trị của \[\frac{6}{p}\] bằng bao nhiêu?

Trong một thử nghiệm ô tô xuất phát từ trạng thái nghỉ.

Người lái điều khiển xe đạt vận tốc cực đại tại t = 18 giây, rồi giảm tốc và dừng hẳn. Toàn bộ quá trình kéo dài 50 giây. Đồ thị vận tốc v(t) (m/s) theo thời gian t (s) như hình vẽ. Trong đó, đoạn [0;24] đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(18;27) và đi qua điểm O ; trên đoạn (24;50] đồ thị là đoạn thẳng AB với A(24;24) và B(50;0)

Bạn đang đứng điều khiển Flycam từ sân thượng một quán cà phê ở vị trí \(A(10;20;50)\) (độ cao 50 mét so với mặt đất), coi tọa độ là mét trong không gian Oxyz. Mục tiêu là bay thẳng đến quay cận cảnh màn trình diễn đèn LED tại thân toà tháp đối diện ở tọa độ \(C(130;180;260)\) (Flycam bay theo đoạn thẳng AC). Do ban quản lý toà tháp thiết lập vùng cấm bay xung quanh thiết bị đèn LED (tâm C) với bán kính an toàn là 40 mét. Flycam phải dừng lại ngay khi chạm mép vùng này. Hỏi quãng đường Flycam bay được từ quán cà phê đến điểm dừng là bao nhiêu mét?

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với kích thước: dài \(AD = 8\,\) mét, rộng \(AB = 6\) mét, cao \(AA' = 4\) mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đặt tại \(A\); các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt trùng với các cạnh \[AD,\,AB,AA'\] (chiều dương lần lượt từ \[A\] đến \[D\], từ \[A\] đến \[B\], từ \[A\] đến \[A'\]) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm \[S\] của mặt trần \[A'B'C'D'\] và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh \[C\] (đỉnh đối diện với \[A\] trên mặt sàn \[ABCD\]). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường \[CDD'C'\], gọi \[P\] là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật \[CDD'C'\]).