Cho một bể chứa nước có hình dạng là một lăng trụ đứng \(AEFB.DHGC\). Mặt đáy của lăng trụ là hình thang vuông \(AEFB\) (vuông tại \(A\) và \(E\)). Biết rằng chiều dài của bể \(AD = 12m\), chiều rộng của mặt bể \(AB = 6m\), chiều rộng của đáy bể \(EF = 3m\) và chiều cao của bể \(AE = 4m\). Bể được bơm nước vào với lưu lượng không đổi \(P = 4{m^3}\)/ giờ. Giả sử mặt nước \(\left( {IKJL} \right)\) luôn song song với mặt đáy \(\left( {HGFE} \right)\) của bể (tham khảo hình vẽ).

Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm \(t = 18\)giờ (đơn vị tính theo mét trên giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \( - 6 \times 2 = - 12\).

c) Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow d = - 2\).

Điểm \(\left( {0;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2 \times \left( { - 2} \right) = - 4\).

Khi đó: \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx - 4}}{{x - 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b + 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2b + 4}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{16a + 4}}{2} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\).

Giả sử \(M\left( {m;\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right)\)\(\left( {m > 2} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| m \right| + \left| {\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right|\]

\( \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = g\left( m \right) = m + \frac{{{m^2} - 2m + 4}}{{m - 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4}}{{m - 2}}\).

Xét \(g'\left( m \right) = \frac{{2{m^2} - 8m + 4}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow m = 2 + \sqrt 2 \Rightarrow {g_{\min }} = {\left[ {d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)} \right]_{\min }} = 4 + 4\sqrt 2 \).

d) Ta có: \(a + b + c + d = - 1 + 2 - 4 - 2 = - 5\).

a) Số lượng vi khuẩn \(P\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng \(P'\left( t \right)\): Đúng theo định nghĩa nguyên hàm

b) Số lượng vi khuẩn tại thời điểm \(t\) là \[P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt\, = \,\int {kt\,dt\, = \,} } \frac{k}{2}{t^2} + C\].

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 1000\\P\left( 2 \right) = 1400\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\\frac{k}{2}.4 + 1000 = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\k = 200\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,P\left( t \right) = 100{t^2} + 1000\)

Do đó b) Sai

c) Sau \(5\)giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm so với thời điểm ban đầu là \(\,P\left( 5 \right) - 1000 = 2500\)

Vây c) Đúng

d)  Sau \(9\) giờ, số lượng vi khuẩn là \(\,P(9) = 8100 + 1000 = 9100 < 10000\).

Vây d) Sai