Một cái ly nước hình trụ có chiều cao \(9{\rm{ cm}}\) đang chứa một lượng nước bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích của ly. Bạn A đặt một vật có dạng hình lập phương vào miệng ly thì thấy một đỉnh của vật đó chạm vào mặt nước đồng thời đường chéo qua đỉnh này của hình lập phương trùng với trục đối xứng của ly (tham khảo hình vẽ). Nếu ban đầu bạn A đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là bao nhiêu centimet khối (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và bỏ qua độ dày của ly)?

 

Đáp án: 9,9.

Gọi \(H\) là chiều cao của ly nước hình trụ, \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Gọi \(a\) là độ dài cạnh của khối lập phương.
Khi khối lập phương được đặt vào miệng ly sao cho một đỉnh chạm mặt nước và đường chéo qua đỉnh đó trùng với trục đối xứng của ly, đồng thời khối lập phương tựa trên miệng ly, thì phần khối lập phương bị ngập nước là một hình chóp tam giác đều (một góc của hình lập phương).
Chiều cao của phần bị ngập nước này (tính từ đỉnh chạm nước đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề của khối lập phương) là \(h = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề đó chính là mặt phẳng mà khối lập phương tựa vào miệng ly.
Trong trường hợp đầu tiên được mô tả:
Ly nước chứa lượng nước bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích của ly, nghĩa là chiều cao cột nước là \(h = \frac{3}{4}H = \frac{{27}}{4}{\rm{ cm}}\).
Khối lập phương được đặt vào miệng ly và một đỉnh của nó chạm vào mặt nước. Điều này có nghĩa là đỉnh thấp nhất của khối lập phương nằm ở độ cao \(h'\) so với đáy ly, và mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề nó nằm ở độ cao của miệng ly, tức là \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Như vậy, chiều cao của phần khối lập phương từ đỉnh thấp nhất đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề (là phần ngập trong nước) là \(H - h' = 9 - \frac{{27}}{4} = \frac{9}{4}{\rm{ cm}}\).
Suy ra: \(\frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{9}{4} \Rightarrow a = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{\rm{ cm}}\).
Nếu ban đầu đổ nước đầy ly, nghĩa là chiều cao cột nước là \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Khối lập phương "như trên" (với cạnh \(a = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{\rm{ cm}}\)) được đặt vào ly.
Khối lập phương vẫn tựa trên miệng ly, vì vậy mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề của nó nằm ở độ cao \(H = 9{\rm{ cm}}\) (tương ứng với miệng ly).
Đỉnh thấp nhất của khối lập phương sẽ nằm ở độ cao \(H - \frac{a}{{\sqrt 3 }} = 9 - \frac{{9\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = 9 - \frac{9}{4} = \frac{{27}}{4}{\rm{ cm}}\) so với đáy ly.
Chiều cao của cột nước là \(9{\rm{ cm}}\).
Đỉnh thấp nhất của khối lập phương nằm ở độ cao \(6.75{\rm{ cm}}\).
Vì \(6.75{\rm{ cm}} < 9{\rm{ cm}}\), toàn bộ phần hình chóp tam giác đều của khối lập phương (từ đỉnh thấp nhất đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề) sẽ bị ngập trong nước.
Thể tích của phần khối lập phương bị ngập nước chính là thể tích nước tràn ra.
Thể tích của hình chóp tam giác đều này (là một góc của khối lập phương) được tính bằng công thức \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\), với \(a\) là cạnh của khối lập phương.
\({V_{tr{\rm{\`a }}n}} = \frac{1}{6}{\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{4}} \right)^3}\)\( = \frac{{729 \cdot \sqrt 3 }}{{128}}\)\( \approx \frac{{729 \times 1.7320508}}{{128}} \approx 9.86555{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).
Làm tròn đến hàng phần chục, ta được \({V_{tr{\rm{\`a }}n}} \approx 9.9{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).