Câu hỏi:

07/04/2026 4,237

Giả sử nhu cầu tiêu thụ một loại sản phẩm mới của doanh nghiệp $A$ được mô hình hóa bởi hàm số $p = \frac{{1500}}{{\sqrt x }}$, trong đó $p$ là đơn giá (tính bằng nghìn đồng) và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm. Chi phí (tính bằng nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm được cho bởi hàm số $C = 12x + 500$. Tìm mức giá (tính bằng nghìn đồng) để mang lại lợi nhuận tối đa.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Bắc Ninh có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

Đáp án: 24.

Doanh thu khi doanh nghiệp bán $x$ sản phẩm là: $D\left( x \right) = x.p = x.\frac{{1500}}{{\sqrt x }} = 1500.\sqrt x $.

Lợi nhuận thu được là: $L\left( x \right) = D\left( x \right) - C\left( x \right) = 1500\sqrt x - \left( {12x + 500} \right) = - 12x + 1500\sqrt x - 500$.

Ta có: $L'\left( x \right) = - 12 + \frac{{750}}{{\sqrt x }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{{125}}{2}$.

$ \Rightarrow x = \frac{{15625}}{4}$.

Bảng biến thiên:

Giả sử nhu cầu tiêu thụ một loại sản phẩm mới của doanh nghiệp A (ảnh 1)

Vậy mức giá để mang lại lợi nhuận tối đa là: $p = \frac{{1500}}{{\sqrt x }} = \frac{{1500}}{{\frac{{125}}{2}}} = 24$ (nghìn đồng)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $1000$ con. Gọi $P\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $\left( {t \ge 0} \right)$. Tốc độ tăng trưởng vi khuẩn của quần thể này tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $P'\left( t \right) = kt$, trong đó $k$ là một hằng số. Biết rằng sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn của quần thể tăng lên thành $1400$ vi khuẩn.

a) [NB] Số lượng vi khuẩn $P\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng $P'\left( t \right)$.

Đúng

Sai

b) [VD] Số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là $P\left( t \right) = 200{t^2} + 1000$.

Đúng

Sai

c) [TH] Sau $5$giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm $2500$con so với thời điểm ban đầu.

Đúng

Sai

d) [TH] Sau $9$ giờ, số lượng vi khuẩn vượt quá $10000$ con.

Đúng

Sai

Lời giải

a) Số lượng vi khuẩn $P\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng $P'\left( t \right)$: Đúng theo định nghĩa nguyên hàm

b) Số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là \[P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt\, = \,\int {kt\,dt\, = \,} } \frac{k}{2}{t^2} + C\].

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 1000\\P\left( 2 \right) = 1400\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\\frac{k}{2}.4 + 1000 = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\k = 200\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,P\left( t \right) = 100{t^2} + 1000$

Do đó b) Sai

c) Sau $5$giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm so với thời điểm ban đầu là $\,P\left( 5 \right) - 1000 = 2500$

Vây c) Đúng

d) Sau $9$ giờ, số lượng vi khuẩn là $\,P(9) = 8100 + 1000 = 9100 < 10000$.

Vây d) Sai

Câu 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

$Cho hàm số y = f(x)= {{a{x^2} + bx + c} / {x + d} (ảnh 1)$

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;4} \right)$.

Đúng

Sai

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng $ - 12$.

Đúng

Sai

c) Cho điểm $M$ có hoành độ lớn hơn $2$, di chuyển trên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai trục tọa độ bằng $4 + 4\sqrt 2 $.

Đúng

Sai

d) $a + b + c + d = - 5$.

Đúng

Sai

Lời giải

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$.

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng $ - 6 \times 2 = - 12$.

c) Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$$ \Rightarrow d = - 2$.

Điểm $\left( {0;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$$ \Rightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2 \times \left( { - 2} \right) = - 4$.

Khi đó: $f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx - 4}}{{x - 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b + 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2b + 4}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{16a + 4}}{2} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}$.

Giả sử $M\left( {m;\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right)$$\left( {m > 2} \right)$\[ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| m \right| + \left| {\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right|\]

$ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = g\left( m \right) = m + \frac{{{m^2} - 2m + 4}}{{m - 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4}}{{m - 2}}$.

Xét $g'\left( m \right) = \frac{{2{m^2} - 8m + 4}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow m = 2 + \sqrt 2 \Rightarrow {g_{\min }} = {\left[ {d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)} \right]_{\min }} = 4 + 4\sqrt 2 $.

d) Ta có: $a + b + c + d = - 1 + 2 - 4 - 2 = - 5$.

Câu 3