Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là \(68m\); có khung thành rộng \(7,32m\) và cao \(2,44m\) nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ \(O\) là điểm đá phạt góc, trục \(Ox\) nằm trên đường biên ngang, trục \(Oy\) nằm trên đường biên dọc, trục \(Oz\) vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí \(P\left( {6;22;0} \right)\) với vận tốc \(28\,m\,/\,s\) theo hướng của vectơ \(\vec v = \left( {15; - 11;1} \right)\) về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Thời gian bóng từ vị trí điểm \(P\) đến khung thành là bao nhiêu giây? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).

b) Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng \( - 6 \times 2 = - 12\).

c) Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow d = - 2\).

Điểm \(\left( {0;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow \frac{c}{d} = 2 \Rightarrow c = 2 \times \left( { - 2} \right) = - 4\).

Khi đó: \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx - 4}}{{x - 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b + 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2b + 4}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{16a + 4}}{2} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\).

Giả sử \(M\left( {m;\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right)\)\(\left( {m > 2} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| m \right| + \left| {\frac{{ - {m^2} + 2m - 4}}{{m - 2}}} \right|\]

\( \Rightarrow d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = g\left( m \right) = m + \frac{{{m^2} - 2m + 4}}{{m - 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4}}{{m - 2}}\).

Xét \(g'\left( m \right) = \frac{{2{m^2} - 8m + 4}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow m = 2 + \sqrt 2 \Rightarrow {g_{\min }} = {\left[ {d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)} \right]_{\min }} = 4 + 4\sqrt 2 \).

d) Ta có: \(a + b + c + d = - 1 + 2 - 4 - 2 = - 5\).

a) Số lượng vi khuẩn \(P\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng trưởng \(P'\left( t \right)\): Đúng theo định nghĩa nguyên hàm

b) Số lượng vi khuẩn tại thời điểm \(t\) là \[P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt\, = \,\int {kt\,dt\, = \,} } \frac{k}{2}{t^2} + C\].

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 1000\\P\left( 2 \right) = 1400\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\\frac{k}{2}.4 + 1000 = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1000\\k = 200\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,P\left( t \right) = 100{t^2} + 1000\)

Do đó b) Sai

c) Sau \(5\)giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm so với thời điểm ban đầu là \(\,P\left( 5 \right) - 1000 = 2500\)

Vây c) Đúng

d)  Sau \(9\) giờ, số lượng vi khuẩn là \(\,P(9) = 8100 + 1000 = 9100 < 10000\).

Vây d) Sai