Đường thẳng \((d):y =  - \frac{1}{2}x + 3m + 2\) cắt đồ thị hàm số \((P):y = 3{x^2} - 2x - 1\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + x_2^2 = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và đường thẳng \((d)\) là

\(3{x^2} - 2x - 1 =  - \frac{1}{2}x + 3m + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 2m - 2 = 0\)(1)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn

\[\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\Delta ^\prime } = 16m + 17 > 0\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} =  - m - 1\\x_1^2 + x_2^2 = 3({x_1} + {x_2})\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{{17}}{{16}}\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} =  - m - 1\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{9}{{16}}\\{(\frac{1}{2})^2} - \frac{3}{2} - 2( - m - 1) = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{9}{{16}}\\m =  - \frac{3}{8}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{8}} \right.} \right.{\rm{ }}\end{array}\]

Vậy \[m =  - \frac{3}{8}{\rm{. }}\]