Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2\,;3} \right)\,,\,B\left( {5\,;\,4} \right)\,;\,C\left( { - 1\,;\, - 4} \right)\). Viết phương trình tham số đường thẳng \(OG\) trong đó \(O\) là gốc tọa độ và điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo. Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên giả sử \(I(3t;t)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IA}  = ( - 3t;2 - t),\overrightarrow {IB}  = (4 - 3t;3 - t)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow ( - 3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0 \Leftrightarrow 10{t^2} - 17t + 6 = 0\)

Suy ra \(t = \frac{1}{2}\) hoặc \(t = \frac{6}{5}\).

Với \(t = \frac{1}{2}\)ta có: \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow C(3; - 1),D( - 1; - 2)\)

Với \(t = \frac{6}{5}\)ta có: \(I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)\)

Gọi \(\Delta \)là đường thẳng đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Ta có: 

$(\Delta ,d)={45}^{°}\iff \left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_d\right)\right|=\cos {45}^{°}\iff \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_d\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\Delta }\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_d\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nếu \(b = 0\)thì \(a = 0\)(loại).

Nếu \(b \ne 0\)thì chia cả hai vế phương trình trên cho \({b^2}\)ta có: \(3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 8 \cdot \frac{a}{b} - 3 = 0\)

Giải phương trình ta được \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\)hoặc \(\frac{a}{b} =  - 3\). Với \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3},\)ta chọn \(a = 1,b = 3\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \(1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0\)

Với \(\frac{a}{b} =  - 3\) ta chọn \(a =  - 3,b = 1\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \( - 3(x - 2) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow  - 3x + y + 3 = 0.\)