Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) biết \(d\)song song đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 17 = 0\) nên phương trình tiếp tuyến \(d\) có phương trình là

Gọi tâm đường tròn là \(I(a;b)\). Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 2)}^2} + {b^2} = {a^2} + {{(b + 3)}^2}}\\{{{(a - 2)}^2} + {b^2} = {{(a - 5)}^2} + {{(b + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 6b =  - 5}\\{6a - 6b = 30}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{5}{2}}\\{b =  - \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bán kính đường tròn là \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{13}}{2}} \).

Vậy phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{2}\).

Gọi tâm đường tròn là \(I(a;b)\), ta có: \(d(I,\Delta ) = \frac{{|3a + b - 3|}}{{\sqrt {10} }}\).

Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = {{(d(I,\Delta ))}^2}}\end{array}} \right.\)

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{(a-1)}^2+{(b-2)}^2={(a-3)}^2+{(b-4)}^2\\ {(a-1)}^2+{(b-2)}^2=\frac{{(3a+b-3)}^2}{10}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b=5\left(1\right)\\ a^2-2a+9b^2-34b+41-6ab=0\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

Thay (1) vào \((2):{(5 - b)^2} - 2(5 - b) + 9{b^2} - 34b + 41 - 6(5 - b)b = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 18b + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}&{ \Rightarrow a = 4 \Rightarrow R = \sqrt {10} }\\{b = \frac{7}{2}}&{ \Rightarrow a = \frac{3}{2} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\end{array}.} \right.\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn: \({\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}\) và \({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 10\)