Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(A'B = a\sqrt 3 \) và \(A'B\) tạo với đáy một góc bằng \({60^ \circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là:

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể dựng hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng, rồi xác định khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó.

Lời giải

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A'B\) và \(AB'\).

Ta có \(MB'//\left( {A'BC} \right)\) nên \({d_{\left[ {M,\left( {A'BC} \right)} \right]}} = {d_{\left[ {B',\left( {A'BC} \right)} \right]}}\).

Mà \(AB' \cap \left( {A'BC} \right) = O\) nên \(\frac{{{d_{\left[ {B',\left( {A'BC} \right)} \right]}}}}{{{d_{\left[ {A,\left( {A'BC} \right)} \right]}}}} = \frac{{B'O}}{{AO}} = 1 \Rightarrow {d_{\left[ {B',\left( {A'BC} \right)} \right]}} = {d_{\left[ {A,\left( {A'BC} \right)} \right]}}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(A'B\). Khi đó \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) nên \({d_{\left[ {A,\left( {A'BC} \right)} \right]}} = AH\).

\(A'B\) tạo với đáy một góc bằng \({60^ \circ }\) nên \(\widehat {ABA'} = {60^ \circ }\)

Ta có \(AB = A'B.\cos \widehat {ABA'} = a\sqrt 3 .{\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);

\(AH = AB.\sin \widehat {ABH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{\rm{sin}}{60^ \circ } = \frac{{3a}}{4}\).