Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = {x^3} + 3\int\limits_0^1 {{x^4}f\left( x \right)dx} ,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( { - 1} \right)\).

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) rồi dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\).

Lời giải

Xét các hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) và \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\).

Ta có hàm số \(u\left( x \right)\) và \(h\left( x \right)\) có cùng số điểm cực trị.

Đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) như sau:

​

Từ đó suy ra hàm số \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) cũng có 5 điểm cực trị.

Dựa vào xét dấu đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) ở đề bài,suy ra \(f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị là \(x = 4\) và \(x = 5\).

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\)

Vì \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) có 5 điểm cực trị nên phương trình  có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Do đó, để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\) có ít nhất 7 điểm cực trị thì phương trình \(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1).

Ta có

\(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 4}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 4 - m}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 5 - m}\end{array}} \right.\) (2)

Để (2) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1) thì \(5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên có 4 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.