Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2 + 3{\rm{ln}}x}}{{1 + 2x}}\) tại điểm \(\left( {1;\frac{2}{3}} \right)\) là    

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{x+\frac{3}{x}}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{x+\frac{3}{x}}{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1>0$.

$\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}\frac{y}{x}=\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}\frac{x+\frac{3}{x}}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}\frac{x+\frac{3}{x}}{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1<0$.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 3 - {x^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\left( { - x} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2}\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) + 3}}{{\left( { - x} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 0\].

Vậy \(y =  - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu. Suy ra \(P = {( - 1)^2} + 0 = 1\)

Đáp án cần nhập là: \(1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục hoành: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do \(\left( H \right)\) quay quanh \(Ox\) là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x-x^2\right)}^2\text{d}x=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4x^2-4x^3+x^4\right)\text{d}x=\pi \left(\frac{4}{3}{x}^3-x^4+{\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2\right)=\frac{16}{15}\pi$. Chọn B.