Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có: \({\rm{tan}}\left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{{\rm{tan}}\widehat {BAM} + {\rm{tan}}\widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot {\rm{tan}}\widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).

\( \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {MAN} = 45^\circ \)

Vì \(A \in AN:2x - y - 3 = 0\) nên \(A\left( {a;2a - 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {a - \frac{{11}}{2};2a - \frac{7}{2}} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AN\) là \(\vec u = \left( {1;2} \right)\).

vì \(\widehat {MAN} = 45^\circ \) nên \(\left| {{\rm{cos}}\left( {\vec u,\overrightarrow {MA} } \right)} \right| = {\rm{cos}}{45^0} \Rightarrow \frac{{\left| {a - \frac{{11}}{2} + 4a - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {a - \frac{{11}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a - \frac{7}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow 2 \cdot {\left( {5a - \frac{{25}}{2}} \right)^2} = 5 \cdot \left( {5{a^2} - 25a + \frac{{85}}{2}} \right) \Rightarrow 25{a^2} - 125a + 100 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.\).

Vậy tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là \(1 + 4 = 5\). Chọn C.

Số cách di chuyển từ \(A\) đến các nút của lưới ô vuông được ghi lại trên từng nút, trong đó số cách đếm mỗi nút từ điểm \(A\) bằng tổng số cách ghi ở nút ngay bên trái và ngay bên dưới.

Vậy số cách di chuyển từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua \(P\) và \(Q\) là 48 cách.

Đáp án cần nhập là: \(48\).