(2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (\(\widehat A < 90^\circ \) và \(AB < BC\)). Kẻ \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (\(D \in AC\)). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AB = BE\).

(a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\), từ đó suy ra \(AD = DE\).

(b) So sánh \(AD\) và \(DC\).

(c) Trên tia đối của tia \(AB\), lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = EC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(FC\). Chứng minh ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng và xác định trực tâm của \(\Delta DFC\) khi \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\[AB = BE\] (giả thiết);

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\));

\(BD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c).

Suy ra \(AD = DE\) (cặp cạnh tương ứng).

b) Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BED}\) (do \(\Delta ABD = \Delta EBD\)).

Mà \(\widehat {BAD} < 90^\circ \) nên \(\widehat {BED} < 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Do đó \(\widehat {DEC} > 90^\circ \).

\(\Delta DEC\) có \(\widehat {DEC} > 90^\circ \) nên là góc tù, do đó \(DC\) là cạnh lớn nhất trong tam giác.

Suy ra \(DC > DE\).

Lại có \(AD = DE\) (câu a) nên \(DC > AD\).

c) • Ta có \(AB = EB,AF = EC\) nên \(BF = BC\)

\(\Delta BFC\) có \(BF = BC\) nên cân tại \(B\).

Suy ra đường trung tuyến \(BK\) đồng thời là đường phân giác, đường cao của \(\Delta BFC\).

Hay \(BK\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Mà \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

Do đó ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.

• Khi \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) ta có \(DA \bot BA\)

Xét \(\Delta DFC\) có \(FB \bot DC,BK \bot FC\) và \(FB,BK\) cắt nhau tại \(B\)

Do đó \(B\) là trực tâm của \(\Delta DFC\).