Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A \ge 90^\circ \). Khi đó cạnh nào sau đây là cạnh dài nhất?

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\), có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));

\(\widehat {BAC}\) là góc chung.

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cặp góc tương ứng).

b) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (câu a)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Do đó \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\).

\(\Delta BHC\) có \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) nên là tam giác cân tại \(H\).

Suy ra \(HB = HC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(\Delta HCD\) vuông tại \(D\) nên cạnh huyền \(HC\) là lớn nhất.

Do đó \(HC > HD\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(HB > HD\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BP\) và \(CQ\).

Xét \(\Delta BPH\) và \(\Delta CQH\), có:

\(HP = HQ\) (giả thiết);

\(\widehat {BHP} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh);

\(HB = HC\) (câu b).

Do đó \(\Delta BPH = \Delta CQH\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {HBP} = \widehat {HCQ}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) (câu b).

Suy ra \(\widehat {HBC} + \widehat {HBP} = \widehat {HCB} + \widehat {HCQ}\) hay \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).

\(\Delta IBC\) có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).

Suy ra \(IB = IC\).

Mà \(AB = AC\) (câu a) và \(HB = HC\) (câu b).

Do đó ba điểm \(I\), \(A\), \(H\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Hay \(I\), \(A\), \(H\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(BP\), \(CQ\), \(AH\) đồng quy.

Gọi \(x\), \(y\), \(z\) lần lượt là số nồi cơm điện chi nhánh thứ nhất, thứ hai và thứ ba bán được.

Do ba chi nhánh cần bán được tất cả 121 chiếc nồi cơm điện nên ta có: \(x + y + z = 121\)

Do số nồi cơm điện bán được tỉ lệ nghịch với số ngày bán được một nồi cơm điện nên ta có: \(x = 2y = 3z\), suy ra \(\frac{x}{1} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{\frac{1}{3}}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{x + y + z}}{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}}} = \frac{{121}}{{\frac{{11}}{6}}} = 66\).

Suy ra \(x = 1.66 = 66\); \(y = \frac{1}{2}.66 = 33\); \(z = \frac{1}{3}.66 = 22\).

Vậy chi nhánh thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt bán được 66 nồi cơm điện; 33 nồi cơm điện; 22 nồi cơm điện.