Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu? 

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{t^2} + 30t + C} \).

Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\).

Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là

\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).

d) Đổi 72 km/h = 20 m/s.

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển từ từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳng là \(20 + 45 = 65\) (m).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng cách từ tâm của khối cầu đến khối chỏm cầu bằng \(5 - 1 = 4\).

b) Thể tích của khối chỏm cầu được tính theo công thức \({V_1} = \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} \).

c) \[{V_1} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_4^5 = \frac{{14\pi }}{3}\].

d) Gọi \({V_2}\) là thể tích của nửa khối cầu có bán kính bằng 5.

Ta có \({V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{250}}{3}\pi \).

Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{14}}{3}\pi }}{{\frac{{250}}{3}\pi }} = \frac{7}{{125}}\).