Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + {t^2}\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v\left( t \right)\) tính bằng centimét/tuần. Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ \(t\). Chiều cao cây cà chua sau 2 tuần là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2.

Trả lời: 6,3

\[I = - 3\int\limits_2^0 {{t^2}f(t){\rm{d}}t} = 3\int\limits_0^2 {{x^2}f(x){\rm{d}}} x = 3\left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {x + 1} \right){\rm{d}}} x + \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}} x} \right] = \frac{{25}}{4} \approx 6,3\].

Lời giải
Từ tâm \({O_2}\), kẻ đường thẳng song song với đoạn \(AB\). Kéo dài bán kính \({O_1}A\) cắt đường thẳng vừa kẻ tại \(H\)

Xét tứ giác \(AB{O_2}H\) có ba góc vuông nên \(AB{O_2}H\) là hình chữ nhật
Khi đó: \(AH = {O_2}B = r = 15\)cm và \({O_2}H = AB\)
Xét \(\Delta {O_1}H{O_2}\) vuông tại \(H\) có \({O_1}H = {O_1}A + AH = R + r = 30 + 15 = 45\)cm và \({O_1}{O_2} = d = 90\)cm
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta {O_1}H{O_2}:\)\({O_2}H = \sqrt {{O_1}O_2^2 - {O_1}{H^2}} = \sqrt {{{90}^2} - {{45}^2}} = 45\sqrt 3 \)cm
Vì \(AB = {O_2}H\) nên chiều dài một đoạn dây thẳng là \(45\sqrt 3 \)cm
Do có 2 đoạn chéo nhau, tổng chiều dài phần dây thẳng là \(90\sqrt 3 \)cm và đặt \(\alpha = \widehat {H{O_1}{O_2}}\)
Xét tam giác vuông \({O_1}H{O_2}\), ta có: \(\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{O_1}H}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{45}}{{90}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\)rad (góc này là cung nhỏ) nên góc ở tâm \(\widehat {A{O_1}A'} = 2\alpha = 120^\circ = \frac{{2\pi }}{3}\)rad
Vậy góc của phần cung mà dây ôm vào ròng rọc lớn là: \({\varphi _1} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Mặt khác \({O_1}A \bot AB\)và \({O_2}B \bot AB\)nên \({O_1}A//{O_2}B\)
Đường thẳng \({O_1}{O_2}\)cắt hai đường thẳng song song này tạo ra các góc so le trong bằng nhau
Do đó góc hợp bởi bán kính ròng rọc nhỏ và đường nối tâm cũng bằng \(\alpha = 60^\circ \)
Tương tự suy ra góc ôm dây trên ròng rọc nhỏ cũng là: \({\varphi _2} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Chiều dài cung trên ròng rọc lớn: \({L_R} = R.{\varphi _1} = 30.\frac{{4\pi }}{3} = 40\pi \)cm
Chiều dài cung trên ròng rọc nhỏ: \({L_r} = r.{\varphi _2} = 15.\frac{{4\pi }}{3} = 20\pi \)cm
Tổng chiều dài dây curoa \(L\)là: cm