Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1,\,x = - 1,\,x = 2\) và trục hoành.    

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

\(S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}\]\( = \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}\).

Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.

Đáp án đúng là: A

Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 3x.\left( {3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3} - 6x\)

\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} - 6x} \right)dx = 156} \).