Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \(s\) người đó chạy được trong khoảng thời gian \(45\) phút, kể từ khi chạy?

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

\(S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}\]\( = \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}\).

Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.

Đáp án đúng là: A

Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 3x.\left( {3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3} - 6x\)

\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} - 6x} \right)dx = 156} \).