Số tự nhiên \(d \ne 0\) được gọi là một ước số của số tự nhiên \(a\) khi và chỉ khi \(a\) chia hết cho \(d\). Ta nói \(d\) chia hết \(a\), kí hiệu \(d\mid a\). Số \(d' \in \mathbb{N}\) được gọi là ước số chung lớn nhất của \(a\) và \(b\left( {a;b \in \mathbb{Z}} \right)\) khi \(d'\) là phần tử lớn nhất trong tập \(USC\left( {a;b} \right)\). Ký hiệu UCLN của \(a\) và \(b\) là \(\left( {a;b} \right)\). Những khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết, UCLN

Giải chi tiết

a) 99 không chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên \(\left( {99,7} \right) = 1\) nên a đúng
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{a = 123456789}\\{b = 987654321}\end{array} \Rightarrow a + b = 1111111110 = \frac{{{{10}^{10}} - 10}}{9}\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{9a + 9b = {{10}^{10}} - 10}\\{10b + a = {{10}^{10}} - 1}\end{array} \Leftrightarrow b - 8a = 9\). Gọi ƯCLN \[\left( {a,b} \right) = d \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{a \vdots d}\\{b \vdots d}\end{array} \Leftrightarrow b - 8a \vdots d9 \vdots d\] (4)
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{a \vdots 9}\\{b \vdots 9}\end{array} \Rightarrow d \vdots 9\) (3)
Từ (3), (4) suy ra ƯCLN của ( \(a,b) = 9\) nên b đúng
c) giả sử \(\left( {2k - 1,9k + 4} \right) = d \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{2k - 1 \vdots d}\\{9k + 4 \vdots d}\end{array}\)
\( \Rightarrow 2\left( {9k + 4} \right) - 9\left( {2k - 1} \right) \vdots d \Leftrightarrow 17 \vdots d \Rightarrow d \in \left\{ { \pm 1, \pm 17} \right\}\) nên c sai

Đáp án cần chọn là: A, B