Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 9 cm, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng ( \(ABC\) ) là \({45^ \circ }\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng (\(ABC\)) là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\).

Giải chi tiết

\(HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2} - 2 \cdot BC \cdot BH \cdot {\rm{cos}}{{60}^0}} = \sqrt {{9^2} + {3^2} - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot {\rm{cos}}{{60}^0}} \)

\( = 3\sqrt 7 \)\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HC\)\(SH = HC \cdot {\rm{tan}}{45^ \circ } = 3\sqrt 7 \)a) Sai do \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {SAB} \right)} \right) = {90^ \circ }\)
b) Đúng. \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt 7 \cdot {9^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{81\sqrt {21} }}{4}\)
c) \(d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,\alpha } \right) = d\left( {B,\alpha } \right) = \frac{3}{2}d\left( {H,\alpha } \right)\)

Kẻ \(HK \bot d \Rightarrow \frac{1}{{d{{(H,\alpha )}^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left[ {6 \cdot {\rm{sin}}{{60}^0}} \right]}^2}}} + \frac{1}{{{{(3\sqrt 7 )}^2}}} = \frac{{10}}{{189}}\)
\( \Rightarrow d\left( {H,\alpha } \right) = \frac{{9\sqrt {210} }}{{20}}\)

Đáp án cần chọn là: S; Đ; S