Có hay không các bộ số tự nhiên thỏa mãn mệnh đề sau?

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết của số chính phương cho 8

Bổ đề: \({n^3} - n:6\forall n\) và kiểm tra các vế tính chia hết cho 6

Giải chi tiết

Không
\(n \equiv 1\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 2\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 4\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 3\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 9\left( { \equiv 1} \right)\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 4\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 16\left( { \equiv 0} \right)\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 5\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 25\left( { \equiv 1} \right)\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 6\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 36\left( { \equiv 4} \right)\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 7\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv {7^2}\left( { \equiv 1} \right)\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)\(n \equiv 0\left( {{\rm{mod }}8} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 0\left( {{\rm{mod }}8} \right)\)

Suy ra số chính phương khi chia 8 có số dư là \(0,1,4\)
⇒ Tổng của 3 số chính phương có thể chia 8 dư \(0,1,2,3,4,5,6\)
Mặt khác \(560647:8\) dư 7 nên không tồn tại bộ số tự nhiên \({\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}}\) thỏa mãn.

Bổ đề: Ta có \({n^3} - n:6\forall n\)
Chứng minh: \({n^3} - n = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3 nên \({n^3} - n\) : \(6\forall n\).
\({a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = a + b + c + d + 660064\)\( \Leftrightarrow {a^3} - a + {b^3} - b + {c^3} - c + {d^3} - d = 660064\)

Do vế trái luôn chia hết cho 6, vế phải không chia hết cho 6 nên không tồn tại các bộ a, b, c, d thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: S; S