Một nhóm gồm \(n\) học sinh ( \(n \ge 3\) ) trong đó có 3 học \({\rm{sinh}}A,B,C\). Khi xếp tùy ý \(n\) học sinh này vào một dãy ghế theo hàng dọc được đánh số thứ tự, từ 1 đến \(n\) (mỗi học sinh ngồi một ghế). Xác suất để số ghế của \(A\) bằng trung bình cộng số ghế của \(B\) và \(C\) là \(\frac{6}{{143}}\). Giá trị của n là:
Đáp án: ___

Đáp án đúng là: 13

Phương pháp giải

Chia trường hợp nếu n chẵn, nếu n lẻ tìm số cách chọn và giải phương trình xác suất tìm k thỏa mãn

Giải chi tiết

TH1: Nếu \(n\) là số chẵn tức là \(n = 2k\)
Từ 1 đến n có k số chẵn và k số lẻ nên có \(A_k^2\) cách chọn A và 1 cách chọn \({\bf{B}}\). Các học sinh còn lại có ( \(2k - 3\) )! cách chọn.
Khi đó xác suất \(P = \frac{6}{{143}} = \frac{{\left( {A_k^2 + A_k^2} \right).1.\left( {2k - 3} \right){\rm{\;!\;}}}}{{\left( {2k} \right){\rm{\;!\;}}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2.\frac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}}}{{2k.\left( {2k - 1} \right)\left( {2k - 2} \right)}} = \frac{6}{{143}}\) (loại do không có k thỏa mãn)
TH2: Nếu n là số lẻ thì \(n = 2k + 1\) tức là có \(k + 1\) số lẻ và k số chẵn
Khi đó xác suất \(\frac{{\left( {A_{k + 1}^2 + A_k^2} \right) \cdot \left( {2k - 2} \right)!}}{{\left( {2k + 1} \right)!}} = \frac{6}{{143}} \Rightarrow k = 6 \Rightarrow n = 13\)

Đáp án cần điền là: 13