Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2;0), B(3;2;2), C(0;5;1). Điểm D nằm trên mặt cầu có phương trình (x - 2)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 sao cho thể tích tứ diện ABC bằng 4
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải chi tiết:
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = (2;0;2),\quad \overrightarrow {AC} = ( - 1;3;1).\]
Suy ra:
\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0,\]
nên \(AB \bot AC\).
Diện tích tam giác ABC là:
\[{S_{ABC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {11} }}{2} = \sqrt {22} .\]
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
\[3x + 2y - 3z - 7 = 0.\]
Do thể tích tứ diện ABCD bằng \(4\), ta có:
\[{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot d(D,(ABC)) = 4 \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}.\]
Gọi \(D(a;b;c)\), khi đó:
\[\frac{{|3a + 2b - 3c - 7|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }} \Rightarrow |3a + 2b - 3c - 7| = 12.\]
Suy ra \(D\) thuộc một trong hai mặt phẳng:
\[({P_1}):\;3a + 2b - 3c - 19 = 0,\qquad ({P_2}):\;3a + 2b - 3c + 5 = 0.\]
Xét mặt cầu tâm \(I(2;0;2)\), bán kính \({R_0} = 2\).
Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_1})\):
\[d(I,({P_1})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 - 19|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {22} }} > 2,\]
nên không có giao tuyến.
Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_2})\):
\[d(I,({P_2})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 + 5|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{5}{{\sqrt {22} }} < 2,\]
nên quỹ tích \(D\) là một đường tròn.
Bán kính đường tròn đó:
\[R = \sqrt {R_0^2 - {d^2}(I,({P_2}))} = \sqrt {4 - \frac{{25}}{{22}}} = \sqrt {\frac{{63}}{{22}}} = \frac{{3\sqrt {154} }}{{22}}.\]
Suy ra:
\[a = 3,\quad b = 22 \Rightarrow T = a + b = 25.\]
Đáp án: A.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập