Một tòa nhà cao tầng dùng một cây tre giả để tạo hình trang trí bên ngoài tòa nhà. Do giông bão thổi mạnh, cây tre này gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với mặt đất một góc bằng \({30^ \circ }\). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc tạo với mặt đất nằm ngang một góc bẳng \({75^ \circ }\). Hãy tính chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng định lí sin để tính cạnh tam giác.

\(\Delta ABC\), ta có: \(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}\)

Lời giải

Vì \(\widehat {ACB} + \widehat {ACx} = {180^ \circ }\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^ \circ } - {75^ \circ } = {105^ \circ }\)

Trong \(\Delta ABC\) ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat B + \widehat A = {180^ \circ }\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat A = {180^ \circ } - \widehat {ACB} - \widehat B = {180^ \circ } - {105^ \circ } - {30^ \circ } = {45^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = \frac{{BC.\sin \widehat {ACB}}}{{\sin A}} = \frac{{8,5.\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{45}^ \circ }}} \approx 11,61({\rm{m}})}\\{AC = \frac{{BC.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{8,5.\sin {{30}^ \circ }}}{{\sin {{45}^ \circ }}} \approx 6,01({\rm{m}})}\end{array}} \right.\]

Chiều dài của cây tre là:

\(d = AB + AC \approx 11,61 + 6,01 = 17,62\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy chiều dài của cây tre xấp xỉ \(17,62{\rm{\;m}}\).