Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Gọi \(D\) là trung điểm cạnh \(BC\). Biết \(AA' = 2a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(C'D\) là:          

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Kẻ \(B'H \bot BD'\).

Chứng mình \(d\left( {A'B;C'D} \right) = B'H\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \(B'H\).

Lời giải

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(B'C'\), ta có \(BDC'D'\) là hình bình hành

\( \Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//\left( {A'BD'} \right)\).

Kẻ \(B'H \bot BD'\).

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D' \bot B'C'}\\{A'D' \bot BB'}\end{array}} \right\} \Rightarrow A'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'D' \bot B'H\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{B'H \bot BD'}\\{B'H \bot A'D'}\end{array}} \right\} \Rightarrow B'H \bot \left( {A'BD'} \right)\).

Suy ra, \(d\left( {A'B,C'D} \right) = d\left( {C'D;\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BD'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {A'BD'} \right)} \right) = B'H\).

Ta có: \(B'D' = \frac{a}{2};BB' = 2a\).

Xét \({\rm{\Delta }}BB'D'\) vuông tại \(B'\) ta có:

\(\frac{1}{{B'{H^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B'{{D'}^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}\).