Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác suất cổ điển

Lời giải

Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8 ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {8^3}\).

Cách 1.

Gắn hệ trục \(Oxy\) vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ \(\left( {x;y} \right)\). Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm \(\left( {x;y} \right)\) đến điểm có tọa độ \(\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\) trong đó \({x_0};{y_0} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\};\,\,{x_0}^2 + {y_0}^2 \ne 0\). Ví dụ nếu \({x_0} = 1;{y_0} = 0\) thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, \({x_0} = - 1;{y_0} = - 1\) thì di chuyển xuống ô đường chéo.

Giả sử tọa độ ban đầu là \(\left( {0;0} \right)\), thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là

\(\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3};{y_1} + {y_2} + {y_3}} \right);{x_1},{x_2},{x_3},{y_1},{y_2},{y_3} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Để về vị trí ban đầu thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0}\\{{y_1} + {y_2} + {y_3} = 0}\end{array}} \right.\). Suy ra các bộ \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) và \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) là một hoán vị của

\(\left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

+) \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn \(\left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}\) có 4 cách chọn \(\left\{ {{y_1};{y_2};{y_3}} \right\}\) vì \(\left( {{x_i};{y_i}} \right),i = \overline {1;3} \) không đồng thời bằng 0.

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là \(p = \frac{{24}}{{{8^3}}} = \frac{3}{{64}}\)

Cách 2.

Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu.

Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).

Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH1: \(4 \times 4 \times 1 = 16\) cách.

Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.

Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).

Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.

Vậy số cách đi ở TH2: \(4 \times 2 \times 1 = 8\) cách.

Xác suất cần tìm: \(p = \frac{{16 + 8}}{{{8^3}}} = \frac{3}{{64}}\).