Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng \(1\) tỉ đồng với lãi suất \(0,5\% /\)tháng. Kể từ lúc gửi, sau mỗi tháng, vào ngày ngân hàng tính lãi, người đó rút \(10\) triệu đồng để chi tiêu. Sau bao nhiêu tháng kể từ ngày gửi thì người đó rút hết tiền trong tài khoản?

Giải chi tiết:

Đặt \(C\) là số tiền ban đầu gửi vào, \(c\) là số tiền hàng tháng rút ra. Số tiền của người đó gửi trong ngân hàng biến động như sau:

- Cuối tháng đầu tiên: \({T_1} = C(1 + 0,5\% )\)

- Đầu tháng thứ hai:\[C\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5\% } \right) - c.\]

- Cuối tháng thứ hai: \({T_2} = [C(1 + 0,5\% ) - c](1 + 0,5\% ) = C{(1 + 0,5\% )^2} - c(1 + 0,5\% ).\)

- Đầu tháng thứ ba: \(C{(1 + 0,5\% )^2} - c(1 + 0,5\% ) - c.\)

…

-Cuối tháng thứ n: \(\)\({T_n} = C{(1 + 0,5\% )^n} - c \cdot {(1 + 0,5\% )^{n - 1}} - ... - c.(1 + 0,5\% )\)

Tức là: \({T_n} = C{(1 + 0,5\% )^n} - c[{(1 + 0,5\% )^{n - 1}} + \cdots + (1 + 0,5\% )]\)\(\)

\( = C{(1 + 0,5\% )^n} - c(1 + 0,5\% ) \cdot \frac{{{{(1 + 0,5\% )}^{{\kern 1pt} n - 1}} - 1}}{{(1 + 0,5\% ) - 1}}\)

\( = C{(1 + 0,5\% )^n} - \frac{c}{{0,5\% }}[{(1 + 0,5\% )^n} - (1 + 0,5\% )]\)

\( = \left( {C - \frac{c}{{0,5\% }}} \right){(1 + 0,5\% )^n} + 201c.\)

Người đó rút hết tiền trong tài khoản, tức là:

\({T_n} \le c\)

\( < = > \left( {C - \frac{c}{{0,5\% }}} \right){(1 + 0,5\% )^n} + 201c \le c\)

\( \Leftrightarrow {(1 + 0,5\% )^n} \ge 2\quad (C = 100c)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,005}}2 \approx 138,98.\\\end{array}\)

Vậy \(n = 139.\)

Đáp án cần chọn là: D