Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai.    

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\): “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Gọi \(B\): “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_9^1}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_9^1}} = \frac{2}{3}\)

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{21}}{{55}} + \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} = \frac{7}{{15}}\)

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\( = \frac{{\frac{{28}}{{55}}.\frac{2}{3}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Gọi \(A\): “Email nhận được là email rác”.

Và \(B\): “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì \(5\% \) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right) = 5\% = 0,05\)

b) Xác suất email bị lọc của email rác là \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 95\% = 0,95.\)

c) Xác suất email nhận được không phải rác là \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là \(P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0,1.\)

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

\(P\left( B \right) = P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425.\)

d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,05}}{{0,1425}} = \frac{1}{3}.\)