Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\]

Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) \[\Delta ABD = \Delta HBD.\]

ii) \[DC < AD.\]

iii) \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

a) Đúng.

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDB\), ta có:

\(AB = BE\) (gt)

\(DB\) chung (gt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv)

b) Sai.

Xét tam giác \(EDB\) vuông tại \(E\), do đó \(DC > DE\) (tính chất cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) Đúng.

Ta có \(\Delta ADB = \Delta EDB\) (ch – cgv) nên \(DA = DE\).

Mà \(DC > DE\) nên \(DC > DA\).

d) Đúng.

Xét tam giác \(FBC\) có \(FD \bot BC\) tại \(E\), \(FB \bot CD\) tại \(A\).

Mà hai đường cao \(FE,CA\) cắt nhau tại \(D\).

Do đó, \(D\) là trực tâm của tam giác \(FBC\).

a) Sai.

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AE = AD\) (gt)

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (gt)

\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (cmt) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {FDB} = \widehat {ADC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \)

Từ đây, suy ra \(\widehat {FDB} + \widehat {FBD} = \widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \).

Trong \(\Delta FDB\) có: \(\widehat {DFB} = 180^\circ - \left( {\widehat {FDB} + \widehat {FBD}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

c) Đúng.

Do \(\widehat {DFB} = 90^\circ \) nên \(CD \bot BE\).

Xét \(\Delta BEC\) có \(AB \bot EC,\,\,CD \bot BE\).

Mà hai đường cao \(AB,\,\,CD\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).

d) Đúng.

Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\) nên \(ED\) là đường cao của \(\Delta BEC\).

Suy ra \(ED \bot BC\).