Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BA = BE\). Qua \(E\) kẻ các đường vuông góc với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\). \(F\) là giao điểm của \(BA\) và \(ED\).

a) Sai.

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AE = AD\) (gt)

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (gt)

\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (cmt) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {FDB} = \widehat {ADC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \)

Từ đây, suy ra \(\widehat {FDB} + \widehat {FBD} = \widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \).

Trong \(\Delta FDB\) có: \(\widehat {DFB} = 180^\circ - \left( {\widehat {FDB} + \widehat {FBD}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

c) Đúng.

Do \(\widehat {DFB} = 90^\circ \) nên \(CD \bot BE\).

Xét \(\Delta BEC\) có \(AB \bot EC,\,\,CD \bot BE\).

Mà hai đường cao \(AB,\,\,CD\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).

d) Đúng.

Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\) nên \(ED\) là đường cao của \(\Delta BEC\).

Suy ra \(ED \bot BC\).

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\) nên \(\widehat C < \widehat B\).

Mà \(\widehat C = 90^\circ - \widehat {HAC}\) và \(\widehat B = 90^\circ - \widehat {BAH}\).

Do đó \[90^\circ - \widehat {HAC} < 90^\circ - \widehat {BAH}\] hay \(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).

b) Sai.

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \);

\(AH\) là cạnh chung;

\(HB = HD\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ADH\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) nên là tam giác cân tại \(A\).

c) Đúng.

Xét \(\Delta AKC\) có \(CH \bot AK,AF \bot CK\), \(CH\) cắt \[AF\] tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).

d) Đúng.

Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\) suy ra \(KD \bot AC\)

Mà \(DE \bot AC\) nên ba điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.