Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh bên \(SB\) và \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SO\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).

Mà \(AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) hay \(BO \bot AC\)

Lại có \(SA \bot BO\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BO \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó \(AO\) là hình chiếu của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {AB,AO} \right) = \widehat {BAO}\).

Vì \(\Delta BOA\) vuông cân tại \(O\) nên \(\widehat {BAO} = 45^\circ \).

Do đó \(\sin \widehat {BAO} = \sin 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Hạ \(AH \bot SB\).

Dễ chứng minh được \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(HC\)là hình chiếu của \(AC\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Suy ra \(\left( {AC,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}\).

Xét \(\Delta SAB\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), có \(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}:a\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SB,SA} \right) = \widehat {BSA}\).