Khi bay với vận tốc siêu nhanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol \(\left( H \right)\) (tham khảo hình vẽ). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km) và \(\left( H \right)\) có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{400}} - \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\). Tìm cao độ của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn.

Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\).

Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\) (1).

Ta lại có \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b = - 5\\a - 3b = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\).

a) \(R = 5\) \( \Rightarrow \) đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) bằng 10.

b) Ta có tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow \) tung độ của tâm bằng 1.

c) \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 4.1 - 15} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\).

d) Xét \(OI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 < R = 5\).

Do đó điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nằm bên trong đường tròn \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).