Cho biểu thức \(M = {n^3}{\left( {{n^2} - 7} \right)^2} - 36.\) Chứng minh rằng \(M\) chia hết cho \(7\) với mọi số nguyên \(n.\)
Cho biểu thức \(M = {n^3}{\left( {{n^2} - 7} \right)^2} - 36.\) Chứng minh rằng \(M\) chia hết cho \(7\) với mọi số nguyên \(n.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(M = {n^3}{\left( {{n^2} - 7} \right)^2} - 36n = n\left[ {{n^2}{{\left( {{n^2} - 7} \right)}^2} - 36} \right]\)
\( = n\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) + 6} \right]\)
\( = n\left( {{n^3} - 7n - 6} \right)\left( {{n^3} - 7n + 6} \right)\)
\( = n\left( {{n^3} - n - 6n - 6} \right)\left( {{n^3} - n - 6n + 6} \right)\)
\[ = n\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]
\[ = n\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]
\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n - 1} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {n + 1} \right) - 6} \right]\]
\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} - n - 6} \right]\left[ {{n^2} + n - 6} \right]\]
\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} + 2n - 3n - 6} \right]\left[ {{n^2} - 2n + 3n - 6} \right]\]
\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n + 2} \right) - 3\left( {n + 2} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 2} \right) + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\]
\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 3} \right)\]
Mà \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n - 2} \right)\) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên \(M\) chia hết cho 7 với mọi số nguyên \(n.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:
\(AB = AC\)(do tam giác \(ABC\) cân tại tại \(A);\)
\(\widehat {BAH} = \widehat {CAK}\)
Do đó \(\Delta ABH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AH = AK\) (hai cạnh tương ứng)
Vậy \(\Delta AHK\) cân tại \(A\).
2) \(\Delta AHK\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {AHK} = \widehat {AKH}\) (hai góc ở đáy)
\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (hai góc ở đáy) (1)
Mà \(\Delta AHK\) và \(\Delta ABC\) chung góc \(\widehat {A\,\,}\) nên suy ra \(\widehat {AHK} = \widehat {AKH} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)
Do đó \(KH\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(BCHK\) là hình thang (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(BCHK\) là hình thang cân.
3) Ta có: \(\Delta BCK = \Delta CBH\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra \(\widehat {BCK} = \widehat {CBH}\) (hai góc tương ứng)
Do đó \(\Delta BIC\) cân tại \(I\) nên \(IB = IC\)
Từ \(IB = IC,AB = AC\) ta suy ra \(AI\) là trung trực của \(BC\).
Lời giải
Diện tích đáy của kim tự tháp là: \(S = {34^2} = 1156\,\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Thể tích của kim tự tháp chính là thể tích hình chóp đều:
\(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1\,\,156 \cdot 21 = 8\,\,092\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Vậy thể tích của kim tự tháp là \(8\,\,092\;\,\,{{\rm{m}}^3}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. tam giác cân.
B. tam giác đều
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(5{\rm{\;cm}},\,\,5{\rm{\;cm}},\,\,7{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
B. \(6{\rm{\;cm}},\,\,8{\rm{\;cm}},\,\,9{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập