Cho biểu thức \[A = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\] với \(x = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\). Đặt \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \,\,\,\left( {a > 0} \right)\). Khi đó:

 

a) Đúng.

Ta có: \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \)

 Suy ra \[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}\]

\[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \]

\[{a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1\]

\[{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]

\[a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \].

b) Sai.

Ta có: \(x = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\)

          \[x = \sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\].

Lại có \[{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2\]

Suy ra \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2 \]

Vậy \[x = \sqrt 2 - 1\].

c) Đúng.

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] vào \[{x^2} + 2x - 1\] được

\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0\].

d) Đúng

Ta có: \[A = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\]

              \[ = 2{x^3} + 4{x^2} - 2x - {x^2} - 2x + 2\]

              \[ = 2x\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 1\]

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] và \[{x^2} + 2x - 1 = 0\] vào \[A\], ta được:

\(A = 2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1\).