Cho biểu thức \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \) với \(a,\,\,b > 0\). Biết rằng giá trị của biểu thức \(E\) tại \(a = 7,25;\,\,b = 3,25\)có dạng phân số tối giản \(\frac{m}{n}\) (với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}\)). Tính giá trị của biểu thức \(T = m + n\).

Đáp án: 8

Ta có: \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \)

             \( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} .\sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)

             \( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)

            \( = \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt b + 1} \right)\left( {\sqrt b - 1} \right)}}} \)

            \( = \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).

Thay \(a = 7,25;\,\,b = 3,25\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(E\), ta có:

\(E = \sqrt {\frac{{7,25 - 1}}{{3,25 - 1}}} = \sqrt {\frac{{6,25}}{{2,25}}} = \sqrt {\frac{{625}}{{225}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{{15}}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}\).

Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{5}{3}\) hay \(m = 5;\,\,\,n = 3.\)

Vậy \(T = m + n = 5 + 3 = 8.\)