Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 2\) và \({u_4} = 11\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng                

Đáp án: 0,17

Đầu tiên, ta xác định phân bố xác suất của tổng số chấm khi tung 2 con xúc xắc (gọi là không gian mẫu \(X\) cho mỗi lần tung, \(X \in [2,12]\)):

·         \(P(2) = P(12) = \frac{1}{{36}}\)

·         \(P(3) = P(11) = \frac{2}{{36}}\)

·         \(P(4) = P(10) = \frac{3}{{36}}\)

·         \(P(5) = P(9) = \frac{4}{{36}}\)

·         \(P(6) = P(8) = \frac{5}{{36}}\)

·         \(P(7) = \frac{6}{{36}}\)

Giả sử tam giác có hai cạnh là a, b và góc xen giữa là góc \(C = (t - 1)15\) độ. Để đây là một tam giác vuông, ta chia thành 2 trường hợp chính:

Trường hợp 1: Tam giác vuông tại C (Góc xen giữa là 90 độ)

·         Ta có: \((t - 1)15 = 90 \Rightarrow t = 7\).

·         Xác suất để \(t = 7\) là \(P(t = 7) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

·         Trong trường hợp này, với bất kỳ độ dài a, b nào được tạo ra, ta cũng luôn có một tam giác vuông.

Trường hợp 2: Tam giác vuông tại A hoặc B

·         Giả sử tam giác vuông tại đỉnh A (đối diện cạnh a). Khi đó, theo lượng giác học, ta có \(\cos C = \frac{b}{a}\). Vì a, b là các số nguyên dương nên \(\cos C\) phải là một số hữu tỉ dương.

·         Thử các giá trị của góc \(C\) từ điều kiện đề bài: 15 độ, 30 độ, 45 độ, 60 độ, 75 độ,... Ta thấy chỉ có \(C = 60\) độ (tương ứng với \(t = 5\)) thì \(\cos 60 = 0,5\) (là số hữu tỉ). Các góc lớn hơn 90 độ sẽ có \(\cos \) âm, không hợp lệ.

·         Vậy bắt buộc \(t = 5\). Xác suất xảy ra là \(P(t = 5) = \frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}\).

·         Nếu vuông tại A: Ta cần \(\frac{b}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2b\). Các cặp \((a,b)\) thỏa mãn và xác suất tương ứng là:

o     \(b = 2,a = 4\): Xác suất \(\frac{1}{{36}} \cdot \frac{3}{{36}} = \frac{3}{{1296}}\)

o     \(b = 3,a = 6\): Xác suất \(\frac{2}{{36}} \cdot \frac{5}{{36}} = \frac{{10}}{{1296}}\)

o     \(b = 4,a = 8\): Xác suất \(\frac{3}{{36}} \cdot \frac{5}{{36}} = \frac{{15}}{{1296}}\)

o     \(b = 5,a = 10\): Xác suất \(\frac{4}{{36}} \cdot \frac{3}{{36}} = \frac{{12}}{{1296}}\)

o     \(b = 6,a = 12\): Xác suất \(\frac{5}{{36}} \cdot \frac{1}{{36}} = \frac{5}{{1296}}\)

o     Tổng xác suất để \(a = 2b\) là: \(\frac{{3 + 10 + 15 + 12 + 5}}{{1296}} = \frac{{45}}{{1296}}\).

·         Nếu vuông tại B: Vai trò của a, b là như nhau nên xác suất \(b = 2a\) cũng là \(\frac{{45}}{{1296}}\).

·         Vậy tổng xác suất của Trường hợp 2 là:

\(P(TH2) = \frac{1}{9} \cdot \left( {\frac{{45}}{{1296}} + \frac{{45}}{{1296}}} \right) = \frac{{10}}{{1296}}\)

Tổng kết:

Xác suất để tam giác được chọn là tam giác vuông bằng tổng xác suất của 2 trường hợp:

\(P = \frac{1}{6} + \frac{{10}}{{1296}} = \frac{{216}}{{1296}} + \frac{{10}}{{1296}} = \frac{{226}}{{1296}} = \frac{{113}}{{648}} \approx 0,17438...\)

Đáp án: 48

Gọi tổng các số ở mỗi cột là \[k\].

Vì cột \[1\] chỉ chứa \[1\] số nên \[k \le 9\].

Vì cột \[3\] chứa \[3\] số nguyên dương phân biệt, tổng nhỏ nhất của chúng là \[1 + 2 + 3 = 6\] nên \[k \ge 6\]

Ta xét các trường hợp của \[k\].

+) Trường hợp 1: \[k = 6\].

Cột \[1\] chứa số \[6\].

Cột \[3\] chứa các số \[1\], \[2\]¸\[3\].

Cột \[2\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;5} \right\}\] hoặc \[\left\{ {2;4} \right\}\]. Ta thấy số \[1\] và \[2\] đều đã ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[2\]: \[k = 7\].

Cột \[1\] chứa số \[7\].

Cột \[3\] phải chứa các số \[\left\{ {1;2;4} \right\}\].

Cột \[2\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;6} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\]. Ta thấy nó đều chứa số ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[3\]: \[k = 8\]

Cột \[1\] chứa số \[8\].

Cột \[3\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] hoặc \[\left\{ {1;2;5} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;5;6;7;9} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;6} \right\}\] có tổng bằng \[8\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;6;7;9} \right\}\], không có hai số nào có tổng bằng \[8\].

Ta có được \[1\] bộ số thỏa mãn.

+) Trường hợp \[4\]: \[k = 9\].

Cột \[1\] chứa số \[9\].

Cột \[3\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;2;6} \right\}\], \[\left\{ {1;3;5} \right\}\], \[\left\{ {2;3;4} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;6} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;5;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {4;5} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;4;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;7} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {2;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {1;5;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {1;8} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

Ta có được \[3\] bộ số thỏa mãn.

+) Với mỗi bộ số, sắp xếp vị trí các số trong mỗi cột.

Cột \[1\] có \[1!\] cách xếp.

Cột \[2\] có \[2!\] cách xếp.

Cột \[3\] có \[3!\] cách xếp.

+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} \right) \times 1! \times 2! \times 3! = 48\] cách điền số thỏa mãn ycbt.