Trong cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao là 2 mét. Trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị đo trên các trục bằng mét), với các điểm ở đáy là \(A\left( {6;4;2} \right)\), \(B\left( {6;6;2} \right)\), \(C\left( {4;6;2} \right)\) và \(D\left( {4;4;2} \right)\), trong đó \(S\) là đỉnh của mái nhà. 

a) Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có phương trình: \(z = 2\) hay \(z - 2 = 0\)

Þ  \(\left( {ABCD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{ABCD}} = \left( {0;0;1} \right)\)

Gọi \(I = AC \cap BD\) Þ \[I\] là trung điểm của \[AC\] và \(BD\) Þ \(I\left( {5;5;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {Oxy} \right)\) và hình chóp đều \(S.ABCD\) có chiều cao là 2 mét Þ \(S\left( {5;5;4} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( { - 1;1; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;4;2} \right)\) hay \({\vec n_{SBC}} = \left( {0;2;1} \right)\)

Gọi \(\alpha \) (\(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \))là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), ta có

\(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_{SBC}}.{{\vec n}_{ABCD}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{SBC}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{ABCD}}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 .1}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 5 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha  = 4 \Rightarrow \tan \alpha  = 2\) (vì \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \)).

Chọn ĐÚNG.

b) Toạ độ đỉnh của mái nhà là \(S\left( {5;5;4} \right)\).

Chọn SAI.

c)

Ta có \(S' \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow S'\left( {x;0;z} \right)\)

Ba điểm \(L,S,S'\) thẳng hàng Þ \(\overrightarrow {LS'}  = k\overrightarrow {LS}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = k\left( {5 - 5} \right)\\0 - 10 = k\left( {5 - 10} \right)\\z - 2 = k\left( {4 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\x = 5\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow S'\left( {5;0;6} \right)\)

Tương tự:

\[\overrightarrow {LB'}  = k\overrightarrow {LB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = k\left( {6 - 5} \right)\\0 - 10 = k\left( {6 - 10} \right)\\z - 2 = k\left( {2 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{2}\\x = \frac{{15}}{2}\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {\frac{{15}}{2};0;2} \right)\]

\[\overrightarrow {LC'}  = k\overrightarrow {LC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = k\left( {4 - 5} \right)\\0 - 10 = k\left( {6 - 10} \right)\\z - 2 = k\left( {2 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{2}\\x = \frac{5}{2}\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {\frac{5}{2};0;2} \right)\]

Ta có \(S'B' = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2} - 5} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\); \(S'C' = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2} - 5} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\) và \(B'C' = 5\)

Þ \(\Delta S'B'C'\) cân tại \(S'\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \[B'C' \Rightarrow H\left( {5;0;2} \right) \Rightarrow S'H = 4\]

Þ Diện tích \(\Delta S'B'C'\) là \(\frac{1}{2}.B'C'.S'H = \frac{1}{2}.5.4 = 10\left( {{m^2}} \right)\)

Chọn ĐÚNG.

d) Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có phương trình: \(z - 2 = 0\)

Ta có \({z_A} = {z_B} = {z_C} = {z_D} = 2 \Rightarrow \left( {ABCD} \right):z = 2 \Leftrightarrow z - 2 = 0\)

Chọn ĐÚNG.