Một người đang điều khiển xe máy với vận tốc là \(36\,km/h\) thì phát hiện đèn tín hiệu giao thông chuyển sang màu đỏ cách vị trí xe 80 m . Ba giây sau đó xe máy bắt đầu giảm tốc và đi với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = at + b\,\,\left( {m/s} \right),\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R},\,\,a < 0} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi xe máy bắt đầu giảm tốc. Khi xe máy đến đèn tín hiệu, đèn vẫn còn đỏ và xe dừng hẳn. Sau khi đèn chuyển xanh, xe tiếp tục di chuyển với tốc độ \({v_2}\left( t \right) = m{t^2} + nt\,\,\left( {m/s} \right),\,\,\left( {m,n \in \mathbb{R},\,\,m < 0} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian (tỉnh bằng giây) kể từ lúc đèn chuyển xanh. Cuối cùng xe máy dừng hẳn tại một cửa hàng bên đường. Biết rằng thời gian xe máy đi từ vị trí đèn tín hiệu đến cửa hàng hết 20 giây và vận tốc lớn nhất trên đoạn đường này là \(54\,km/h\)

a) \({v_2}\left( t \right) = m{t^2} + nt\)

\({v_2}\left( {20} \right) = 0\) (vì xe dừng hẳn sau 20 giây \( \Rightarrow n =  - 20m\) .

Ta có \({v'_2}\left( t \right) = 2mt + n\).

Vì \({v_2}\max  = 54\,km/h = 15m/s\) nên \(2mt + n = 0 \Rightarrow t =  - \frac{n}{{2m}} =  - \frac{{ - 20m}}{{2m}} = 10 \Rightarrow {v_2}\left( {10} \right) = 15\)

\( \Rightarrow m{.10^2} + n.10 = 15 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}100m + 10n = 15\\n =  - 20m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m =  - \frac{3}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow {v_2}\left( t \right) =  - \frac{3}{{20}}{t^2} + 3t\).

Khoảng cách từ vị trí đèn tín hiệu đến cửa hàng là \(\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{3}{{20}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t}  = 200\,\,\left( m \right)\).

Suy ra khẳng định đúng.

b) Đổi \[36km/h = 10m/s\].

Với \(t = 0 \Rightarrow v\left( t \right) = 10 \Rightarrow a.0 + b = 10 \Rightarrow b = 10\). Suy ra khẳng định sai.

c) Người đang điều khiển với vận tốc 36 km/h và phát hiện đèn tín hiệu cách vị trí xe 80 m. Ba giây sau đó xe bắt đầu giảm tốc thì quãng đường xe máy đi được từ lúc giảm tốc lần một đến khi dừng hẳn cách đèn là: \(80 - 3.10 = 50\,\,\left( m \right)\). Suy ra khẳng định đúng.

d) Ta có \({v_1}\left( t \right) = at + 10\) .

Khi \({v_1}\left( t \right) = 0\)\( \Rightarrow t =  - \frac{{10}}{a} \Rightarrow {S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \frac{1}{2}a{t^2} + 10t\)

\( \Rightarrow {S_1}\left( { - \frac{{10}}{a}} \right) = 50 \Rightarrow \frac{1}{2}.a.{\left( { - \frac{{10}}{a}} \right)^2} + 10.\left( { - \frac{{10}}{a}} \right) = 50 \Rightarrow a =  - 1\)\( \Rightarrow {v_1}\left( t \right) =  - t + 10\).

\( \Rightarrow t = \frac{{ - 10}}{{ - 1}} = 10\). Suy ra khẳng định đúng.