Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có ba điểm \[D,E,F\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,CA.\]

a) Giải thích vì sao \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b)Tứ giác \[ADEF\] là hình gì? Vì sao?

c) Gọi \[K\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh rằng \[B,K,F\] thẳng hàng.

a) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có: \[E,F\] lần lượt là trung điểm của \[BC,CA\] nên \[EF\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] suy ra \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có: \[D,E\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC\] nên \[DE\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] suy ra \[DE\,{\rm{//}}\,AC.\]

Ta có: \[DE\,{\rm{//}}\,AF\,\,\,\left( {F \in AC} \right)\] và \[EF\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\left( {D \in AB} \right)\]

Suy ra tứ giác \[ADEF\] là hình bình hành (dhnb)

Mà \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] nên hình bình hành \[ADEF\]là hình chữ nhật (dhnb)

Do đó \[EF = AD.\]

c) Ta có: \[EF = AD,\] mà \[BD = AD\] (vì \[D\]là trung điểm \[AB\]) nên \[EF = BD.\]

Mà \[EF\,{\rm{//}}\,BD\,\,\,\left( {D \in AB} \right)\] nên tứ giác \[EFDB\] là hình bình hành (dhnb)

Lại có \[K\] là trung điểm của \[DE\] và \[K\] là trung điểm của \[FB\] (tính chất hình bình hành)

Vậy \[B,K,F\] thẳng hàng.