PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + 2x\). Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 4\).

a) Sai.

Đáy bể là hình chữ nhật có chiều rộng \(x\), chiều dài là 2\(x\).

Diện tích đáy bể là: \({S_{{\rm{day}}}} = x \cdot 2x = 2{x^2}\).

Chi phí để xây phần đáy bể là: \(500 \cdot 2{x^2} = 1000{x^2}\) (nghìn đồng).

Thể tích bể là \(V = {S_{{\rm{d\'a y}}}} \cdot h = 2{x^2}h\). Do \(V = 12\) nên \(2{x^2}h = 12 \Rightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\).

Diện tích xung quanh của bể (gồm 4 mặt bên, không nắp) là: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 6xh\).

Chi phí để xây phần thành bể là: \(300 \cdot 6xh = 1800xh\).

Thay \(h = \frac{6}{{{x^2}}}\) vào, ta được chi phí xây thành bể là: \(1800x \cdot \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{{10800}}{x}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí xây dựng bể là:

\(T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}{\rm{ (ngh\`i n dong)}}\)

Biểu thức của bài toán đưa ra bị sai ở hệ số của \({x^2}\).

b) Đúng.

Như đã chứng minh ở ý a), từ công thức thể tích \(V = 2{x^2}h\) và giả thiết \(V = 12\), ta có:

\(2{x^2}h = 12 \Leftrightarrow {x^2}h = 6 \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}\) (\(m\)).

c) Đúng.

Theo dữ kiện đề bài, đáy bể có chiều rộng là \(x\), chiều dài gấp đôi chiều rộng nên là 2\(x\).

Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật được tính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

\(V = (x \cdot 2x) \cdot h = 2{x^2}h\) (\({m^3}\)).

d) Đúng.

Xét hàm số chi phí \(T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}\) với điều kiện \(x > 0\).

Ta có đạo hàm:

\(T'(x) = 2000x - \frac{{10800}}{{{x^2}}} = \frac{{2000{x^3} - 10800}}{{{x^2}}}\)

Cho \(T'(x) = 0 \Leftrightarrow 2000{x^3} - 10800 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 5,4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{5,4}}\) (thỏa mãn \(x > 0\)).

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(T(x)\) liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) và đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{5,4}}\).

Khi đó, chi phí tối thiểu để xây bể là: \(T(\sqrt[3]{{5,4}}) = 1000{(\sqrt[3]{{5,4}})^2} + \frac{{10800}}{{\sqrt[3]{{5,4}}}} \approx 9233,87\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo yêu cầu bài toán, tổng chi phí tối thiểu là 9234 (nghìn đồng).

Đáp án: 15

Thay \(S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}\) vào \(V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}\), ta được \(V\left( t \right) = \frac{{5\left( {\frac{{10t + 5}}{{t + 1}}} \right)}}{{\frac{{10t + 5}}{{t + 1}} + 2}}\)\( = \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}}\).

Khi thời gian \(t\) kéo dài, tốc độ sinh trưởng \(V\) tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng \(K\) nhất định

Suy ra ngưỡng \(K\) chính là giới hạn của tốc độ sinh trưởng khi thời gian \(t\) tiến ra vô hạn \(\left( {t \to  + \infty } \right)\)

\(K = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = \frac{{50}}{{12}} = \frac{{25}}{6}\)

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm \(t\) sao cho \(V\left( t \right) = 90\%  \cdot K\)\[ = 0,9 \cdot \frac{{25}}{6} = \frac{9}{{10}} \cdot \frac{{25}}{6} = 3,75\].

Ta có phương trình \(\frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = 3,75\)

\( \Leftrightarrow 50t + 25 = 3,75 \cdot \left( {12t + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 0,25\;\)(giờ)\( = 15\;\)(phút)

Vậy sau \(15\) phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn sẽ đạt \(90\% \) ngưỡng ổn định \(K\).