Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức \(Q\) không phụ thuộc vào \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.\]

                             \(Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}.\)

\[A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}\]

a) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ne 0\\x + 5 \ne 0\\4x \ne 0\end{array} \right.\) hay \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0.\)

b) Với \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\[A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}\]

\[ = \left[ {\frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]

\[ = \frac{{2x + 10 + 2x - 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]

\[ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]\[ = \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.\]

Vậy với \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0\) thì \(A = \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.\)

c) Thay \(x = - 3\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta có: \(A = \frac{{ - 3 - 5}}{{ - 3 + 5}} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.\)

a) Tứ giác \[AEIF\] có: \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A),\) \(\widehat {E\,} = 90^\circ \) (do \(IE \bot AB),\) \(\widehat {F\,} = 90^\circ \) (do \(IF \bot AC).\)

Suy ra \[AEIF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AI = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IB = IC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(IB = IC = IA = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ACI\) có \(IA = IC\) nên \(\Delta ACI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IF\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ACI.\)

Do đó \[F\] là trung điểm \[AC\] nên \[FA = FC = \frac{1}{2}AC.\]

Mà \(FA = IE\) (do \[AEIF\] là hình chữ nhật) nên \(IE = FC.\)

Tứ giác \(EFCI\) có \(IE = FC\) và \(IE\,{\rm{//}}\,FC\) nên \[EFCI\] là hình bình hành.

c) Xét \(\Delta ABI\) có \(IA = IB\) nên \(\Delta ABI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IE\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \[\Delta ABI.\]

Do đó \[E\] là trung điểm \[AB.\]

Xét tứ giác \(AIBG\) có \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(GI\) nên là hình bình hành.

Lại có \(GI \bot AB\) nên \(AIBG\) là hình thoi.