Giải các hệ phương trình sau

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\]          b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\]

a) + Với \(m = 0\) thì hệ có nghiệm \(\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn đề bài

+ Với \(m \ne 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}mx + {m^2}y = 2m\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}} < 0\\\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m + 4 > 0\end{array} \right. \Rightarrow  - 4 < m < \frac{1}{2}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}\)

Vậy với \(m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}\)thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x > 0;y < 0\)

b) + Với \(m = 0\) thì hệ có nghiệm \(\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn đề bài

+ Với \(m \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}};\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}} \right)\)

Trước hết tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(m + 4 \vdots {m^2} + 2\)

\( \Rightarrow {m^2} + 4m \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 4m - 2 \vdots {m^2} + 2\)

\( \Rightarrow 4\left( {m + 4} \right) - \left( {4m - 2} \right) \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 18 \vdots {m^2} + 2\)

Mà \({m^2} + 2 > 2\) nên \({m^2} + 2 \in \left\{ {3;6;9;18} \right\}\)\( \Rightarrow {m^2} \in \left\{ {1;4;7;16} \right\}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\).