Cho \(a > 0\). Chứng minh:

a) Nếu \({\rm{a}} > 1\) thì \({\rm{a}} > \sqrt {\rm{a}} \).                                                b) Nếu a \( < 1\) thi \({\rm{a}} < \sqrt a \).

Rút gọn biểu thức:

a)\[\,\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 9}},\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right)\];

b)\(\,\frac{{x - 5\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 3}},\,\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right)\);

c) \(6 - 2x - \sqrt {9 - 6x + {x^2}} \,,\,\,\left( {x < 3} \right)\).

Chứng minh đẳng thức:

a). \[9 + 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^2}\];

b). \[\sqrt {9 + 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  = 2\];

c). \[\sqrt {23 + 8\sqrt 7 }  - \sqrt 7  = 4\];

d).\[\sqrt {a + 4\sqrt {a - 2}  + 2}  + \sqrt {a - 4\sqrt {a - 2}  + 2}  = 4\] (với \[2 \le a \le 6\]).

Tìm \(x\) biết

a) \[\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 3 - x\];                                                                    b) \[\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}}  + 2x = 5\];

Rút gọn biểu thức:

a). \[2\sqrt {{x^2}} \], với \[x < 0\];                                                                    b). \[\frac{1}{2}\sqrt {{x^{10}}} \], với \[x < 0\];

c). \[\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}} \], với \[a \le 5\];                                                                   d). \[\sqrt {{{\left( {x - 10} \right)}^{10}}} \], với \[x \le 10\];

e). \[x - 4 + \sqrt {{x^2} - 8x + 16} \], với \[x < 4\];                                                                   f). \[\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}} \], với \[0 \le x \le y.\]

Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \[{x^2} - 11\];                                        b) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\];

c) \[x - 5\] (với \[x > 0\]);                                                                    d) \[5 - 7{x^2}\] (với \[x > 0\,).\]

e) \[3 + 4x\] (với \[x < 0\]).

Tính:

a) \[ - 0,8\sqrt {{{\left( { - 0,125} \right)}^2}} \];    b) \[\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^6}} \];                                            c)\[\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}} \];

d) \[\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  - 3} \right)}^2}} \];     e) \[\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \];         f) \[\sqrt {{{\left( {0,1 - \sqrt {0,1} } \right)}^2}} \];

g)\[\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \];                                         h) \[\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \];   i) \[\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } \];

j)\[\sqrt {16 - 6\sqrt 7 } \].

So sánh

a) 2 và \(1 + \sqrt 2 \);                               b) 1 và \(\sqrt 3  - 1\);       c) \(3\sqrt {11} \) và 12;                               d) \( - 10\) và \( - 2\sqrt {31} \).