Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có nghĩa):

    a). \(\sqrt {18{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}^2}} ;\)                                         c) \(\sqrt {\frac{a}{{{b^3}}} + \frac{a}{{{b^4}}}} ;\)

    b). \(ab\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} ;\)                                         d) \(\frac{{a + \sqrt {ab} }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}.\)

a) Ta có \(2\sqrt {3x}  - 4\sqrt {3x}  + 27 - 3\sqrt {3x}  = (2 - 4 - 3)\sqrt {3x}  + 27 =  - 5\sqrt 3 x + 27\).

b) Ta có \(3\sqrt {2x}  - 5\sqrt {8x}  + 7\sqrt {18x}  + 28 = 3\sqrt {2x}  - 10\sqrt {2x}  + 21\sqrt {2x}  + 28\)

                                              \( = (3 - 10 + 21)\sqrt {2x}  + 28 = 14\sqrt {2x}  + 28\).

a)   a) Ta có \[x - 5\sqrt x  + 6 = \left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)\]

       Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  \ne 3\\\sqrt x  \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\\x \ne 4\end{array} \right.\]

b) \[B = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\( = \frac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}.\]

c)  Ta có \[B = \frac{{\sqrt x  - 3 + 4}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}\]

             \[B > 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} > 0 \Leftrightarrow \sqrt x  > 3 \Leftrightarrow x > 9\]

Vậy với \[x > 9\] thì \[B > 1.\]

d) Vì \[B = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}\] nên \[B \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  - 3\] là ước của 4. Do đó \[\sqrt x  - 3\] nhận các giá trị \[ \pm 1,{\rm{ }} \pm 2,{\rm{ }} \pm 4\].

Suy các giá trị thích hợp của x là \[1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}16,{\rm{ }}25,{\rm{ }}49\].