Cho đường tròn \(\left( {{\rm{O}};4{\rm{\;cm}}} \right)\) và ba điểm \(A,B,C\) trên đường tròn đó sao cho tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\) và số đo cung nhỏ \(BC\) bằng \[70^\circ \].

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ \(AB\) và \(AC\) bằng nhau.

b) Tính độ dài của các cung \(BC,AB\) và \(AC\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gọi \({{\rm{S}}_{\rm{v}}}\) là diện tích hình vành khuyên cần tính.

Ta có: \({{\rm{S}}_{\rm{v}}} = \pi .\left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

a) Tam giác \(ABC\) đều (gt) \( \Rightarrow \widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \).

Gọi \(O\) là tâm của nửa đường tròn đường kính \(BC\), ta có tam giác \(BOD\) cân tại \(O\) có \(\widehat B = 60^\circ \left( {{\rm{cmt}}} \right) \Rightarrow \Delta BOD\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \).

Tương tự với tam giác \(COE \Rightarrow \widehat {COE} = 60^\circ \).

Do đó \(\widehat {DOE} = 180^\circ  - \left( {\widehat {BOD} + \widehat {COE}} \right) = 180^\circ  - \left( {60^\circ  + 60^\circ } \right) = 60^\circ \).

Ta có \(\widehat {BOD} = \widehat {DOE} = \widehat {COE} = 60^\circ \)

 $\Rightarrow \text{sd }\stackrel{⏜}{BD}=\text{sd}\stackrel{⏜}{DE}=\text{sd}\stackrel{⏜}{EC}=60°.$

b) Ta có \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = {{\rm{S}}_{\rm{q}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{BOD\;}}}}\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow BC = AC = AB = 2\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{r}} \Rightarrow &{\;OB = OC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)}\\{}&{{{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi  \cdot {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} = \frac{1}{2}\pi  = 1,57\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)}\\{{S_{BOD}}}&{\; = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 1,30\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)}\end{array}\)

Vậy \({S_{vp}} = 1,57 - 1,30 \approx 0,27\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).