Cho tam giác \[ABC\], hai đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\]. Gọi \[O\] là trung điểm \[AH,\] \[M\] là trung điểm \[BC\].

Khi đó:            

a) Đúng.

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[D\] có \[O\] là trung điểm \[AH\] nên \[OA = OD = OH = \frac{1}{2}AH.\]

       \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm \[AH\] nên \[OA = OE = OH = \frac{1}{2}AH.\]

Do đó, \[OA = OD = OH = OE = \frac{1}{2}AH\] hay bốn điểm \[A,\,D,\,H,\,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH.\]

b) Đúng.

Xét \[\Delta DBC\] vuông tại \[D\] có \[DM\] là đường trung tuyến nên \[MD = MB = \frac{1}{2}BC\].

Có \[\widehat {ODA} = \widehat {OAD}\] (\[\Delta OAD\] cân)

\[\widehat {OAD} = \widehat {DBC}\] (cùng phụ với \[\widehat {ACB}\])

\[\widehat {DBC} = \widehat {BDM}\] (vì \[\Delta MBD\] cân)

Do đó, \[\widehat {ODA} = \widehat {BDM}\].

c) Đúng.

Ta có: \[\widehat {ODA} + \widehat {ODB} = 90^\circ \] nên \[\widehat {BDM} + \widehat {ODB} = 90^\circ \,\,\left( {\widehat {ODA} = \widehat {BDM}} \right)\] hay \[\widehat {ODM} = 90^\circ \].

Do đó \[MD \bot OD\], suy ra \[MD\] là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

d) Sai.\[AH.\]

Kéo dài \[AH\] cắt \[BC\] tại \[F\]. Do \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AF \bot BC\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FAB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \\\widehat {BCE} + \widehat {ABC} = 90^\circ \end{array} \right.\], do đó \[\widehat {FAB} = \widehat {BCE}\] (1).

Lại có \[\Delta AOE\] cân tại \[O\,\,\left( {OA = OE} \right)\] nên \[\widehat {FAB} = \widehat {OEA}\] (2).

Xét \[\Delta MEC\] cân tại \[M\,\,\left( {ME = \frac{1}{2}BC = MC} \right)\], do đó \[\widehat {BCE} = \widehat {MEC}\] (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \[\widehat {OEA} = \widehat {MEC}\].

Mà \[\widehat {OEA} + \widehat {OEH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \]

       \[\widehat {MEC} + \widehat {OEH} = 90^\circ \]

       \[\widehat {OEM} = 90^\circ \]

Suy ra \[ME \bot OE\] tại \[E\].

Do đó, \[ME\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] hay \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \[AH\].