Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[M\] thuộc \[\left( O \right)\] sao cho \[MA < MB\]. Vẽ dây \[MN\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Đường thẳng \[AN\] cắt \[BM\] tại \[C\]. Đường thẳng qua \[C\] vuông góc với \[AB\] tại \[K\] và cắt \[BN\] tại \[D\].

Khi đó:            

Đáp án: 25

Gọi \[I\] là giao điểm của \[AB\] và \[OC\].

Suy ra \[AB \bot OI\].

Có \[OA = OB\] nên tam giác \[OAB\] cân tại \[O.\]

Từ đây, suy ra \[I\] là trung điểm của \[AB\].

Do đó, \[AI = IB = \frac{{AB}}{2} = 12\,\,{\rm{cm}}\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \[AOI\], được: \[OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Xét \[\Delta AOC\] và \[\Delta IOA\] có:

\[\widehat {AOC} = \widehat {IOA}\];

\[\widehat {OAC} = \widehat {OIA} = 90^\circ \]

Suy ra $\Delta AOC\backsim \Delta IOA$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{OC}}{{OA}}\] , do đó \[OC = \frac{{O{A^2}}}{{OI}} = \frac{{{{15}^2}}}{9} = 25\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\,\]

a) Sai.

Xét \[\Delta OAC\] và \[\Delta ABO\] có:

\[OC = OB = R\]

\[OA\] chung

\[AB = AC\] (gt)

Do đó, \[\Delta OAC = \Delta OAB\] (c.c.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta OAC = \Delta OAB\] (cmt) nên \[\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng)

Do đó, \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Đúng.

Có \[OD \bot OE\] nên tam giác \[OCD\] cân tại \[O\], do đó \[M\] là trung điểm của \[EC\].

\[OD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[EC\] suy ra \[DE = DC\].

Suy ra \[\Delta OED = \Delta OCD\] (c.c.c)

d) Đúng.

Vì \[\Delta OED = \Delta OCD\] (c.c.c) nên \[\widehat {OED} = \widehat {OCD} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Do đó, \[DE\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].